Чему равно расстояние от начала координат до точки, где пересекаются прямая y=1.5xy = 1.5xy=1.5x и прямая, проходящая через точки А (0 см, 4 см) и B (8 см, 0 см), округленное до десятых сантиметров?
Детальное объяснение:
Для нахождения расстояния от начала координат до точки пересечения данных прямых, давайте выполним следующие шаги:
-
Найдем точку пересечения прямых y=1.5xy = 1.5x и ABAB, где ABAB — это прямая, проходящая через точки A(0 см,4 см)A(0, text{см}, 4, text{см}) и B(8 см,0 см)B(8, text{см}, 0, text{см}).
-
Затем найдем расстояние от начала координат до этой точки.
Шаг 1: Найдем точку пересечения прямых y=1.5xy = 1.5x и ABAB:
Сначала найдем уравнение прямой ABAB. Используем две точки AA и BB, чтобы найти угловой коэффициент kk этой прямой:
k=yB−yAxB−xA=0 см−4 см8 см−0 см=−4 см8 см=−0.5k = frac{{y_B — y_A}}{{x_B — x_A}} = frac{{0, text{см} — 4, text{см}}}{{8, text{см} — 0, text{см}}} = frac{{-4, text{см}}}{{8, text{см}}} = -0.5
Теперь, когда у нас есть угловой коэффициент, мы можем записать уравнение прямой ABAB в виде y=kx+by = kx + b, где bb — это y-интерсепт (точка, где прямая пересекает ось y). Используя точку AA, мы можем найти bb:
4 см=(−0.5)⋅0 см+b4, text{см} = (-0.5) cdot 0, text{см} + b
b=4 смb = 4, text{см}
Таким образом, у нас есть уравнение прямой ABAB: y=−0.5x+4y = -0.5x + 4.
Теперь найдем точку пересечения этой прямой с прямой y=1.5xy = 1.5x, решив систему уравнений:
y &= -0.5x + 4\
y &= 1.5x
end{align*}
Приравняем выражения для yy:
−0.5x+4=1.5x-0.5x + 4 = 1.5x
Переносим −0.5x-0.5x на другую сторону уравнения:
4=1.5x+0.5×4 = 1.5x + 0.5x
Объединяем коэффициенты 1.5×1.5x и 0.5×0.5x:
4=2×4 = 2x
Теперь делим обе стороны на 2, чтобы найти xx:
x=42=2 смx = frac{4}{2} = 2, text{см}
Теперь найдем значение yy в точке пересечения, используя уравнение y=1.5xy = 1.5x:
y=1.5⋅2 см=3 смy = 1.5 cdot 2, text{см} = 3, text{см}
Шаг 2: Найдем расстояние от начала координат до точки (2 см, 3 см):
Теперь у нас есть координаты точки пересечения, которые равны (2 см, 3 см). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения расстояния от начала координат до этой точки:
D=x2+y2=(2 см)2+(3 см)2D = sqrt{x^2 + y^2} = sqrt{(2, text{см})^2 + (3, text{см})^2}
Вычисляем значение внутри корня:
D=4 см2+9 см2=13 см2D = sqrt{4, text{см}^2 + 9, text{см}^2} = sqrt{13, text{см}^2}
Теперь извлекаем корень:
D=13 см≈3.6 смD = sqrt{13}, text{см} approx 3.6, text{см}
Итак, расстояние от начала координат до точки пересечения прямых y=1.5xy = 1.5x и ABAB округлено до десятых сантиметров составляет примерно 3.6 сантиметра.