Чему равно результат выражения (cos²67,5°-cos²22,5°)·cos67,5°·cos22,5°?

Давайте рассмотрим данное выражение пошагово.

1. Сначала найдем значения cos(67,5°) и cos(22,5°).

   Значение cos(67,5°) можно выразить с помощью формулы половинного угла для косинуса:
   cos(67,5°) = cos(45° + 22,5°) = cos(45°)cos(22,5°) — sin(45°)sin(22,5°)

   Здесь мы используем формулу для cos(α + β):
   cos(α + β) = cos(α)cos(β) — sin(α)sin(β)

   Значения cos(45°) и sin(45°) равны 1/√2, так как это значения косинуса и синуса 45 градусов.

   Теперь мы можем вычислить:
   cos(67,5°) = (1/√2)cos(22,5°) — (1/√2)sin(22,5°)

   Значение cos(22,5°) также можно выразить через формулу половинного угла для косинуса:
   cos(22,5°) = cos(45° — 22,5°) = cos(45°)cos(22,5°) + sin(45°)sin(22,5°)

   Используя те же значения cos(45°) и sin(45°), получаем:
   cos(22,5°) = (1/√2)cos(22,5°) + (1/√2)sin(22,5°)

   Теперь у нас есть два уравнения для cos(67,5°) и cos(22,5°), и мы можем их решить.

2. Решение системы уравнений:

   a) cos(67,5°) = (1/√2)cos(22,5°) — (1/√2)sin(22,5°)
   b) cos(22,5°) = (1/√2)cos(22,5°) + (1/√2)sin(22,5°)

   Переносим слагаемые с cos(22,5°) на одну сторону в уравнении (a):
   (1/√2)cos(22,5°) — cos(67,5°) = (1/√2)sin(22,5°)

   Теперь можно разделить обе стороны на (1/√2):
   cos(22,5°) — √2cos(67,5°) = sin(22,5°)

   Теперь рассмотрим уравнение (b):
   cos(22,5°) = (1/√2)cos(22,5°) + (1/√2)sin(22,5°)

   Переносим слагаемые с cos(22,5°) на одну сторону:
   (1/√2)sin(22,5°) = (1/√2)cos(22,5°)

   И опять разделим обе стороны на (1/√2):
   sin(22,5°) = cos(22,5°)

   Теперь у нас есть два уравнения:
   cos(22,5°) — √2cos(67,5°) = sin(22,5°)
   sin(22,5°) = cos(22,5°)

3. Теперь, имея значения cos(67,5°) и cos(22,5°), а также уравнение sin(22,5°) = cos(22,5°), мы можем найти cos(22,5°) и sin(22,5°).

   Из уравнения sin(22,5°) = cos(22,5°) следует, что:
   sin(22,5°) = cos(22,5°)

   Теперь мы можем найти значение cos(22,5°) из одного из уравнений:
   cos(22,5°) = (1/√2)sin(22,5°)

   Имея значение cos(22,5°), мы можем найти значение cos(67,5°):
   cos(67,5°) = (1/√2)cos(22,5°) — (1/√2)sin(22,5°)

   Подставляем значение cos(22,5°) из предыдущего уравнения:
   cos(67,5°) = (1/√2)((1/√2)sin(22,5°)) — (1/√2)sin(22,5°)

   Упрощаем:
   cos(67,5°) = (1/2)sin(22,5°) — (1/√2)sin(22,5°)

   Теперь у нас есть значение cos(67,5°) и cos(22,5°), и мы можем вернуться к исходному выражению.

4. Найдем разность cos²(67,5°) и cos²(22,5°):
   cos²(67,5°) — cos²(22,5°) = [(1/2)sin(22,5°) — (1/√2)sin(22,5°)]² — [(1/√2)sin(22,5°)]²

   Возьмем sin(22,5°) за общий множитель и вынесем его:
   sin²(22,5°)[(1/2 — 1/√2)² — (1/√2)²]

   Вычисляем значения в скобках:
   sin²(22,5°)[(1/4 — 1/√2 + 1/2) — (1/2)]

   Проводим вычисления в скобках:
   sin²(22,5°)[(3/4 — 1/√2) — (1/2)]

   Продолжаем упрощать:
   sin²(22,5°)[3/4 — 1/√2 — 1/2]

   Теперь вычисляем значения в скобках:
   sin²(22,5°)[3/4 — 1/√2 — 2/4]

   Далее упрощаем:
   sin²(22,5°)[1/4 — 1/√2]

   Перемножаем sin²(22,5°) и вычисляем значение:
   sin²(22,5°) * (1/4 — 1/√2)

   Теперь найдем значение sin(22,5°). Для этого воспользуемся формулой половинного угла для синуса:
   sin(22,5°) = √[(1 — cos(45°)) / 2]

   Значение cos(45°) равно 1/√2:
   sin(22,5°) = √[(1 — 1/√2) / 2]

   Далее упрощаем числитель:
   sin(22,5°) = √[(√2 — 1) / 2]

   Теперь подставляем значение sin(22,5°) в исходное выражение:
   sin²(22,5°) * (1/4 — 1/√2)

   sin²(22,5°) = (√[(√2 — 1) / 2])²

   Вычисляем значение в скобках:
   sin²(22,5°) = [(√2 — 1) / 2]

   Теперь подставляем это значение обратно в исходное выражение:
   [(√2 — 1) / 2] * (1/4 — 1/√2)

   Умножаем числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:
   [(√2 — 1)(1/4 — 1/√2)] / 2

   Раскрываем скобки:
   [(√2/4 — 1/4 — 1/4√2 + 1/√2)] / 2

   Группируем подобные члены:
   [(-1/4 — 1/4√2 + √2/4 + 1/√2)] / 2

   Суммируем числители:
   (-1/4 + √2/4 — 1/4√2 + 1/√2) / 2

   Получаем:
   (-1/4 + √2/4 — 1/4√2 + 1/√2) / 2

   Теперь можно упростить этот числовой результат. Умножим числитель и знаменатель на 4, чтобы избавиться от дробей:
   [(-1 + √2 — √2 + 2) / (4 * 2)]

   Далее упрощаем числитель:
   [(-1 + 2) / (4 * 2)]

   Получаем окончательный результат:
   [1 / 8]

5. Наконец, умножаем полученное значение на cos(67,5°)·cos(22,5°), которое мы ранее нашли:
   [1 / 8] * [(1/2)sin(22,5°) — (1/√2)sin(22,5°)]

   Распределяем значение 1/8 на оба слагаемых:
   [(1/8) * (1/2)sin(22,5°)] — [(1/8) * (1/√2)sin(22,5°)]

   Умножаем числители:
   (1/16)sin(22,5°) — (1/8√2)sin(22,5°)

6. Теперь можно выразить ответ в виде окончательного числового значения:
   (1/16)sin(22,5°) — (1/8√2)sin(22,5°)

   Чтобы упростить ответ, можем объединить два слагаемых:
   [(1/16 — 1/8√2)]sin(22,5°)

7. Наконец, вычисляем значение числителя в скобках:
   1/16 — 1/8√2 ≈ 0.051

   Подставляем это значение обратно в выражение:
   [0.051]sin(22,5°)

8. Итак, окончательный ответ:
   [0.051]sin(22,5°)

Это значение можно вычислить численно, и оно будет приближенно равно примерно 0.051.