Найдите количество первых членов геометрической прогрессии, если их сумма равна 2912, первый член равен 8, и

Чтобы найти количество первых членов геометрической прогрессии (n), при условии, что сумма равна 2912, первый член (a₁) равен 8, и знаменатель (q) прогрессии равен 3, мы можем воспользоваться формулой для суммы n членов геометрической прогрессии:

$S_n=a_1\ast (1-q^n)/(1-q),$

где:

• $S_n$ — сумма n членов прогрессии,
• $a_1$ — первый член прогрессии,
• $q$ — знаменатель прогрессии,
• $n$ — количество членов прогрессии.

Мы знаем значения $S_n$, $a_1$ и $q$, и нас интересует $n$. Подставим известные значения в формулу:

$2912=8\ast (1-3^n)/(1-3).$

Теперь решим уравнение относительно $n$:

$2912=8\ast (1-3^n)/(-2).$

Умножим обе стороны на -2:

$-5824=8\ast (1-3^n).$

Далее, разделим обе стороны на 8:

$-728=1-3^n.$

Теперь выразим $3^n$:

$3^n=1+728=729.$

Чтобы найти значение $n$, возведем обе стороны уравнения в степень:

$n=lo{g}_3(729).$

Теперь найдем значение $n$:

$n=lo{g}_3(3^6)=6.$

Итак, количество первых членов геометрической прогрессии равно 6.