Найдите решение для неравенства, заданного как (3x-7)^2 больше или равно (5x-9)^2.
Пошаговый ответ:
Для решения данного неравенства, давайте начнем с его раскрытия и упрощения:
(3x — 7)^2 ≥ (5x — 9)^2
Сначала раскроем оба квадрата:
(3x — 7)(3x — 7) ≥ (5x — 9)(5x — 9)
Теперь упростим выражения в скобках:
9x^2 — 42x + 49 ≥ 25x^2 — 90x + 81
Теперь выразим все слагаемые на одной стороне неравенства, чтобы получить стандартную квадратичную форму:
9x^2 — 42x + 49 — (25x^2 — 90x + 81) ≥ 0
Раскроем скобки и упростим:
9x^2 — 42x + 49 — 25x^2 + 90x — 81 ≥ 0
Теперь сложим подобные члены:
-16x^2 + 48x — 32 ≥ 0
Теперь неравенство имеет вид квадратичной функции, которую мы можем решить. Для начала, давайте разделим все слагаемые на -16 и поменяем направление неравенства, так как мы делим на отрицательное число:
x^2 — 3x + 2 ≤ 0
Далее, факторизуем квадратное уравнение:
(x — 2)(x — 1) ≤ 0
Теперь определим знак выражения на интервалах, чтобы найти решение:
-
x < 1:
Знаки: (-)(-) ≤ 0 (неравенство выполнено) -
1 ≤ x ≤ 2:
Знаки: (-)(+) ≤ 0 (неравенство не выполнено) -
x > 2:
Знаки: (+)(+) ≤ 0 (неравенство выполнено)
Теперь мы видим, что неравенство (3x — 7)^2 ≥ (5x — 9)^2 выполняется при x 2.
Итак, решением данного неравенства является интервал x 2.