Найти решения для уравнения: [tex]log_{sin x}(cos 2x — sin x + 1) = 2[/tex

Чтобы решить уравнение ${\log }_{\sin x}(\cos 2x-\sin x+1)=2$, мы начнем с переписывания его в экспоненциальной форме. Вспомним, что ${\log }_a(b)=c$ можно переписать как $a^c=b$. В данном случае, $a=\sin x$, $b=\cos 2x-\sin x+1$, и $c=2$.

Таким образом, мы получаем уравнение: ${\sin }^{2}x=\cos 2x-\sin x+1$.

Далее мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить это уравнение. Заметим, что $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Подставив это в уравнение, получим:

${\sin }^{2}x=(1-2{\sin }^{2}x)-\sin x+1$.

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $\sin x$:

${\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x-\sin x+1$.

Упростим:

$3{\sin }^{2}x+\sin x=0$.

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Факторизуем его:

$\sin x(3\sin x+1)=0$.

Теперь рассмотрим оба множителя отдельно:

1. $\sin x=0$

Это уравнение имеет решения $\sin x=0$, которое соответствует значениям $\sin x$ равным нулю, например, $x=0$ и $x=\pi$.

1. $3\sin x+1=0$

Решая это уравнение, получаем $\sin x=-\frac{1}{3}$. Однако, $\sin x$ не может быть меньше -1, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.

Итак, у нас есть два решения для уравнения ${\log }_{\sin x}(\cos 2x-\sin x+1)=2$: $x=0$ и $x=\pi$.