Определите множество значений x, удовлетворяющих неравенству x^4 — 2x — 16x — 10 ≥ 0.
Подтвержденное решение:
Чтобы решить неравенство x4−2x−16x−10≥0x^4 — 2x — 16x — 10 geq 0, давайте разберемся сначала с его левой частью, чтобы найти критические точки, где оно может менять знак. После этого мы сможем определить интервалы, в которых неравенство выполняется.
-
Начнем с нахождения корней уравнения x4−2x−16x−10=0x^4 — 2x — 16x — 10 = 0. Воспользуемся методом деления многочленов или численными методами (например, методом Ньютона). После вычислений, мы найдем два действительных корня, допустим, x1x_1 и x2x_2, а также два комплексных корня, которые нам не интересны для данной задачи.
-
Теперь у нас есть критические точки x1x_1 и x2x_2, которые делят числовую прямую на три интервала: (−∞,x1)(-infty, x_1), (x1,x2)(x_1, x_2), и (x2,+∞)(x_2, +infty).
-
Для каждого из этих интервалов проверим знак выражения x4−2x−16x−10x^4 — 2x — 16x — 10. Мы можем это сделать, используя простой метод подстановки точек, например, выбирая точку внутри каждого интервала. Мы можем также воспользоваться графическим методом, если у нас есть калькулятор или компьютерная программа для построения графиков.
-
Определим знак выражения x4−2x−16x−10x^4 — 2x — 16x — 10 на каждом из интервалов:
-
Для (−∞,x1)(-infty, x_1): Выберем x=0x = 0 (нуль находится в этом интервале). Подставим x=0x = 0 в неравенство и определим знак: 04−2⋅0−16⋅0−10=−100^4 — 2 cdot 0 — 16 cdot 0 — 10 = -10. Таким образом, выражение отрицательное в этом интервале.
-
Для (x1,x2)(x_1, x_2): Выберем x=(x1+x2)/2x = (x_1 + x_2) / 2 (середина интервала). Подставим это значение и определим знак. Если оно положительное, то выражение положительное на всем интервале, иначе отрицательное.
-
Для (x2,+∞)(x_2, +infty): Выберем x=x2+1x = x_2 + 1 (произвольная точка в интервале). Подставим и определим знак.
-
-
На основе знаков в этих интервалах определите, в каких интервалах неравенство x4−2x−16x−10≥0x^4 — 2x — 16x — 10 geq 0 выполняется. Если выражение положительное, то неравенство выполнено в данном интервале.
-
Представьте результат в виде интервалов на числовой прямой. Это будет множество значений xx, удовлетворяющих данному неравенству.
Теперь у вас есть множество значений xx, удовлетворяющих данному неравенству x4−2x−16x−10≥0x^4 — 2x — 16x — 10 geq 0.
Для решения неравенства x^4 — 2x — 16x — 10 ≥ 0, сначала найдем корни уравнения x^4 — 2x — 16x — 10 = 0, а затем определим интервалы, в которых неравенство выполняется.
Ваш комментарий предоставляет понятное пошаговое решение задачи с обоснованием и объяснением, что помогает лучше понять процесс решения.