Посчитайте значение выражения: 5sin(60º) — tg(45º)cos(30º).Найдите sin(α), если известно, что cos(α) = 5/13.
Детальное объяснение:
Давайте разберемся с каждым из выражений по очереди:
-
Сначала вычислим 5sin(60º).
Угол 60º соответствует одному из особых углов синуса, который равен √3/2. Поэтому:
5sin(60º) = 5 * (√3/2) = (5√3)/2. -
Далее, посчитаем tg(45º).
Угол 45º также является одним из особых углов, и его тангенс равен 1. -
Наконец, рассчитаем cos(30º).
Угол 30º тоже является одним из особых углов, и его косинус равен √3/2.
Теперь мы можем подставить эти значения в исходное выражение:
5sin(60º) — tg(45º)cos(30º) = (5√3)/2 — 1 * (√3/2).
Теперь выполним вычитание:
(5√3)/2 — (√3/2) = (5√3 — √3)/2 = 4√3/2.
Итак, значение данного выражения равно 4√3/2.
Теперь перейдем ко второй части задачи, где нам нужно найти sin(α), зная, что cos(α) = 5/13.
Известно, что sin²(α) + cos²(α) = 1 (тождество Пифагора). Подставим значение cos(α):
(sin(α))² + (5/13)² = 1.
Теперь решим уравнение относительно sin(α):
(sin(α))² = 1 — (5/13)²,
(sin(α))² = 1 — 25/169,
(sin(α))² = 144/169.
Чтобы найти sin(α), возьмем квадратный корень из обеих сторон:
sin(α) = √(144/169).
Теперь упростим это значение:
sin(α) = 12/13.
Таким образом, sin(α) равно 12/13.
Конечно, давайте решим задачу! Для вычисления значения выражения 5sin(60º) — tg(45º)cos(30º) сначала найдем значения функций для каждого угла:
5sin(60º):
Угол 60º соответствует синусу (√3/2), поэтому 5sin(60º) = 5 * (√3/2) = (5√3)/2.
tg(45º):
Угол 45º имеет тангенс 1, так что tg(45º) = 1.
cos(30º):
Угол 30º имеет косинус (√3/2), поэтому cos(30º) = (√3/2).
Теперь, подставим эти значения в исходное выражение и решим:
5sin(60º) — tg(45º)cos(30º) = (5√3)/2 — 1 * (√3/2) = (5√3 — √3)/2 = (4√3)/2 = 2√3.
Итак, значение выражения равно 2√3.
Чтобы найти sin(α), зная, что cos(α) = 5/13, воспользуемся тригонометрической тождеством sin²(α) + cos²(α) = 1:
sin²(α) + (5/13)² = 1.
sin²(α) + 25/169 = 1.
sin²(α) = 1 — 25/169 = 144/169.
Теперь извлечем квадратный корень:
sin(α) = √(144/169) = 12/13.
Таким образом, sin(α) = 12/13. Удачи в изучении математики!