Путешественник запланировал посетить города и поселения на карте, где каждый город соединен 3 дорогами с поселениями и 6 дорогами с другими городами, а каждое поселение имеет 2 дороги к другим поселениям и 4 дороги к городам. Всего он запланировал посетить 42 населенных пункта. Сколько городов и сколько поселений включено в его планы?
Подробный ответ:
Давайте разберемся в этой задаче.
Пусть «Г» — количество городов, «П» — количество поселений в планах путешественника.
Из условия задачи мы знаем, что:
- Из каждого города выходит 3 дороги к поселениям и 6 дорог к другим городам.
- Из каждого поселения выходит 2 дороги к другим поселениям и 4 дороги к городам.
Поэтому мы можем записать два уравнения на основе этих данных:
-
Общее количество дорог, исходящих из городов, равно 3 * Г (так как у нас есть 3 дороги к поселениям из каждого города) и также 6 * Г (6 дорог к другим городам из каждого города). Таким образом, общее количество дорог, исходящих из городов, равно 3 * Г + 6 * Г = 9 * Г.
-
Аналогично, общее количество дорог, исходящих из поселений, равно 2 * П (2 дороги к другим поселениям из каждого поселения) и также 4 * П (4 дороги к городам из каждого поселения). Таким образом, общее количество дорог, исходящих из поселений, равно 2 * П + 4 * П = 6 * П.
Теперь мы знаем, что общее количество населенных пунктов, которое путешественник планирует посетить, составляет 42. То есть:
Г + П = 42.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
- 9 * Г = общее количество дорог, исходящих из городов.
- 6 * П = общее количество дорог, исходящих из поселений.
- Г + П = 42 — общее количество населенных пунктов.
Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или сложением/вычитанием. Давайте воспользуемся методом сложения:
Сначала умножим второе уравнение на 3, чтобы сделать коэффициенты Г в обоих уравнениях равными:
- 9 * Г = общее количество дорог, исходящих из городов.
- 18 * П = общее количество дорог, исходящих из поселений.
Теперь сложим оба уравнения:
9 * Г + 18 * П = общее количество дорог, исходящих из городов + общее количество дорог, исходящих из поселений.
Известно, что общее количество дорог равно 42, так как каждый населенный пункт соединен дорогой с другими:
9 * Г + 18 * П = 42.
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- 9 * Г = общее количество дорог, исходящих из городов.
- 9 * Г + 18 * П = 42 — общее количество дорог.
Мы можем решить эту систему уравнений и найти значения для Г и П.