На сколько раз отличаются радиусы этих планет, если первые космические скорости отличаются в 3 раза? a. 3 b. 9 c

Чтобы понять, на сколько раз отличаются радиусы этих планет, если первые космические скорости отличаются в 3 раза, давайте воспользуемся законом всемирного тяготения, который выразил Исаак Ньютон. Этот закон гласит, что сила тяжести между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для этой силы выглядит так:

$F=\frac{G\ast m1\ast m2}{r^2},$

где:

• $F$ — сила гравитации между двумя объектами,
• $G$ — гравитационная постоянная,
• $m1$ и $m2$ — массы объектов,
• $r$ — расстояние между центрами масс объектов.

Когда объекты находятся на поверхности планеты, масса одного из объектов будет равна $m_1$, а масса планеты $m_2$ будет равна $m_1+M$, где $M$ — масса планеты. Расстояние $r$ будет равно радиусу планеты $R$. Теперь мы можем записать закон всемирного тяготения для этой ситуации:

$F=\frac{G\ast m1\ast (m1+M)}{R^2}.$

Теперь давайте рассмотрим первые космические скорости ($V_1$ и $V_2$) для двух планет. Они связаны с массой планеты ($M$) и её радиусом ($R$) следующим образом:

$V=\sqrt{\frac{2\ast G\ast M}{R}}.$

Мы знаем, что первые космические скорости для этих планет отличаются в 3 раза, то есть $V_2=3\ast V_1$. Подставим это в уравнение:

$3\ast \sqrt{\frac{2\ast G\ast M}{R_1}}=\sqrt{\frac{2\ast G\ast M}{R_2}}.$

Теперь давайте разделим обе стороны этого уравнения:

$\frac{3\ast \sqrt{\frac{2\ast G\ast M}{R_1}}}{\sqrt{\frac{2\ast G\ast M}{R_2}}}=\frac{3}{1},$

и упростим его:

$\frac{\sqrt{\frac{2\ast G\ast M}{R_1}}}{\sqrt{\frac{2\ast G\ast M}{R_2}}}=3.$

Теперь, извлекая корни и упрощая, получим:

$\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}=3.$

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\frac{R_2}{R_1}=3^2,$

$\frac{R_2}{R_1}=9.$

Теперь у нас есть отношение радиусов планет: $R_2/R_1=9$. Это означает, что радиус одной планеты в 9 раз больше, чем радиус другой. Таким образом, ответ a. 3 — неправильный. Правильный ответ — b. 9, так как один радиус в 9 раз больше другого, чтобы обеспечить разницу в 3 раза в первых космических скоростях.