Доведіть, що трикутник АВС є прямокутним, враховуючи координати його вершин А(3;1;2), В(1;2;-1) і С(-2;2;1). Обчисліть

Для доведення, що трикутник АВС є прямокутним, спочатку перевіримо, чи він є прямокутним за допомогою векторних добутків і перевіримо, чи взаємно перпендикулярні вектори, які представляють сторони трикутника.

1. Знайдемо вектори сторін трикутника:

   Вектор AB = B — A = (1 — 3, 2 — 1, -1 — 2) = (-2, 1, -3)
   Вектор AC = C — A = (-2 — 3, 2 — 1, 1 — 2) = (-5, 1, -1)

2. Тепер знайдемо векторний добуток цих двох векторів:

   AB × AC = ((1 * (-1) — (-3) * (-5)), ((-2) * (-1) — (-3) * (-5)), ((-2) * 1 — 1 * (-2)))
   = (5 — 15, 2 + 15, -2 + 2)
   = (-10, 17, 0)

3. Якщо векторний добуток AB × AC дорівнює нулевому вектору, це означає, що сторони AB і AC є взаємно перпендикулярними. Таким чином, трикутник АВС є прямокутним.

Тепер обчислимо площу прямокутного трикутника. Ми можемо використовувати одну зі сторін як основу і визначити висоту трикутника від іншої вершини.

1. Візьмемо сторону AB як основу. Довжина AB дорівнює √((-2)² + 1² + (-3)²) = √(4 + 1 + 9) = √14.

2. Тепер знайдемо висоту трикутника від вершини C до сторони AB. Висота може бути знайдена за допомогою проекції вектора AC на вектор AB:

   Висота h = |AC| * sin(θ), де θ — це кут між векторами AC і AB.

   Знайдемо косинус кута θ:

   cos(θ) = (AC • AB) / (|AC| * |AB|)

   Де • — це скалярний добуток векторів.

   cos(θ) = ((-5 * (-2)) + (1 * 1) + ((-1) * (-3))) / (√14 * √14) = (10 + 1 + 3) / 14 = 14 / 14 = 1

   θ = arccos(1) = 0 градусів (через скалярний добуток, θ = 0 означає, що вектори колінеарні, і трикутник прямокутний).

   Тепер ми знаємо кут θ, і можемо знайти висоту:

   h = |AC| * sin(0) = |AC| * 0 = 0.

3. Тепер, коли у нас є довжина основи (AB = √14) і висота (h = 0), ми можемо обчислити площу трикутника:

   Площа = (1/2) * основа * висота = (1/2) * √14 * 0 = 0.

Отже, площа прямокутного трикутника АВС дорівнює нулю.