Каков объем правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 с боковым ребром 2b, если через сторону AB нижнего основания и середину ребра CC1 проведено сечение, образующее угол 30 градусов с плоскостью основания?
Подробный ответ:
Для решения этой задачи сначала определим форму сечения, проведенного через сторону AB нижнего основания и середину ребра CC1. Мы знаем, что это правильная треугольная призма, поэтому у нас есть следующая схема:
- Нижнее основание: треугольник ABC.
- Верхнее основание: треугольник A1B1C1.
- Боковые грани: шесть равных треугольных граней.
С учетом угла 30 градусов между сечением и плоскостью основания, мы можем разделить каждую из боковых граней на два равных треугольника. Это происходит потому, что 30 градусов — это половина угла в 60 градусов, который делит треугольник на два равных треугольника.
Теперь, чтобы найти объем призмы, нам нужно найти объем одной из маленьких треугольных призм, а затем умножить его на количество таких призм в большей призме.
-
Рассмотрим одну из маленьких треугольных призм. Она имеет треугольное основание, и его площадь можно найти, используя формулу для площади треугольника: S = (1/2) * a * h, где «a» — длина стороны треугольника, «h» — высота треугольника.
-
Так как треугольник ABC является равносторонним, его стороны равны друг другу и равны 2b, а высота этого треугольника будет равна половине высоты большей призмы, то есть (1/2) * h.
-
Площадь основания маленькой призмы (S) равна (1/2) * (2b) * (1/2) * h = b * (1/2) * h = b * h / 2.
-
Теперь, чтобы найти объем одной маленькой призмы, умножьте площадь её основания на длину боковой стороны, то есть 2b. Объем одной призмы будет равен V_маленькой_призмы = (b * h / 2) * 2b = b^2 * h.
-
Теперь у нас есть объем одной маленькой призмы. Чтобы найти объем большей призмы, умножьте объем одной маленькой призмы на количество таких призм в большей призме, то есть 6 (по числу боковых граней).
-
Объем большей призмы V_большой_призмы = 6 * b^2 * h.
Таким образом, объем правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 с боковым ребром 2b, если через сторону AB нижнего основания и середину ребра CC1 проведено сечение, образующее угол 30 градусов с плоскостью основания, равен 6 * b^2 * h.