Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной вокруг цилиндра, если объем цилиндра составляет 2π√3

Для решения этой задачи, давайте разберемся с геометрической ситуацией. У нас есть цилиндр, и вокруг него описана правильная треугольная призма. Это значит, что основание призмы — треугольник, а высота призмы совпадает с высотой цилиндра.

Объем цилиндра можно выразить формулой:
$V_{цилиндра}=\pi r^{2}h,$
где r — радиус цилиндра, h — высота цилиндра.

Нам дано, что объем цилиндра составляет 2π√3. Поэтому мы имеем:
$2\pi \surd 3=\pi r^{2}h.$

Теперь нам нужно найти объем треугольной призмы. Поскольку призма правильная и описана вокруг цилиндра, боковая поверхность призмы будет иметь форму треугольника, а площадь этого треугольника можно найти. Площадь правильного треугольника с высотой h и стороной a (в данном случае, это радиус цилиндра r) можно выразить формулой:
$S_{треугольника}=1/2\ast a\ast h.$

Таким образом, объем треугольной призмы будет:
$V_{призмы}=S_{треугольника}\ast h.$

Теперь у нас есть все данные для решения задачи. Мы можем найти радиус цилиндра, зная объем цилиндра, а затем использовать этот радиус и высоту цилиндра для вычисления объема треугольной призмы.

1. Найдем радиус цилиндра r:
   $2\pi \surd 3=\pi r^{2}h.$
   $r^2=2\surd 3.$
   $r=\surd (2\surd 3).$

2. Теперь мы можем вычислить площадь треугольника:
   $S_{треугольника}=1/2\ast a\ast h=1/2\ast (\surd (2\surd 3))\ast h.$

3. Наконец, найдем объем треугольной призмы:
   $V_{призмы}=S_{треугольника}\ast h=(1/2\ast (\surd (2\surd 3))\ast h)\ast h=1/2\ast \surd (2\surd 3)\ast h^2.$

Теперь у нас есть формула для объема треугольной призмы, и мы можем использовать известное значение высоты цилиндра h (которая также является высотой призмы), чтобы найти объем призмы.