Найти косинус острого угла в треугольнике ABC, если известен синус острого угла A

Для нахождения косинуса острого угла в треугольнике ABC, если известен синус угла A, мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью, связывающей синус и косинус в прямоугольном треугольнике. В этой идентичности синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе:

$\sin (A)=\frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}}$

В данном случае, у нас нет конкретных числовых значений, поэтому мы будем использовать общие обозначения. Пусть сторона, противолежащая углу A, обозначена как «a,» а гипотенуза треугольника как «c.» Тогда, согласно формуле синуса:

$\sin (A)=\frac{a}{c}$

Мы ищем косинус угла A. Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащей стороны к гипотенузе:

$\cos (A)=\frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}}$

Чтобы выразить косинус A через синус A, мы можем использовать тригонометрическую идентичность, известную как теорема Пифагора:

$a^2+b^2=c^2$

где a и b — длины катетов треугольника. Мы можем решить эту формулу относительно b:

$b^2=c^2-a^2$

$b=\sqrt{c^2-a^2}$

Теперь мы можем выразить косинус угла A:

$\cos (A)=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c}$

Таким образом, чтобы найти косинус острого угла A в треугольнике ABC, имея синус угла A и значения сторон «a» и «c,» мы используем формулу:

$\cos (A)=\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c}$

Это позволяет нам выразить косинус угла A через известные данные.