Какое из следующих утверждений верно для функции y = cos x + 2x:возрастает на всей числовой прямойпостоянна на всей

Давайте рассмотрим каждую из задач по очереди:

1. Для функции y = cos x + 2x, чтобы определить, возрастает она, постоянна или убывает на всей числовой прямой, мы можем проанализировать ее производную. Если производная положительна на всей числовой прямой, то функция возрастает; если производная отрицательна на всей числовой прямой, то функция убывает; если производная равна нулю, то функция постоянна.

Производная функции y = cos x + 2x равна: y’ = -sin x + 2.

Теперь давайте рассмотрим это утверждение:

• Если y’ > 0 для всех значений x, то функция возрастает.
• Если y’ < 0 для всех значений x, то функция убывает.
• Если y’ = 0 для всех значений x, то функция постоянна.

Исходя из производной y’ = -sin x + 2, видно, что эта функция не является постоянной на всей числовой прямой и не всегда положительной или отрицательной. Значит, функция y = cos x + 2x ни постоянна, ни возрастает или убывает на всей числовой прямой.

1. Теперь рассмотрим функцию y = sin x — 2x — 15. Аналогично, мы можем анализировать ее производную:

Производная функции y = sin x — 2x — 15 равна: y’ = cos x — 2.

Теперь проверим, как изменяется функция:

• Если y’ > 0 для всех значений x, то функция возрастает.
• Если y’ < 0 для всех значений x, то функция убывает.
• Если y’ = 0 для всех значений x, то функция постоянна.

Исходя из производной y’ = cos x — 2, видно, что эта функция может быть положительной (возрастающей) при некоторых значениях x и отрицательной (убывающей) при других значениях x, что означает, что она не постоянна и не обладает постоянным направлением (возрастает или убывает) на всей числовой прямой.

1. Наконец, для исследования на монотонность функции, нам нужно определить интервалы, на которых она возрастает или убывает. Это можно сделать, проанализировав знак производной на этих интервалах.

Исходя из производной y’ = -sin x + 2, можно сделать следующие выводы:

• Функция возрастает на интервалах, где y’ > 0, то есть -sin x + 2 > 0.
• Функция убывает на интервалах, где y’ < 0, то есть -sin x + 2 < 0.

Давайте рассмотрим каждый из вариантов:

• Если -sin x + 2 > 0, то sin x < 2, и это выполняется на интервалах, где sin x < 2, то есть на (-∞, arcsin(2)) и (arcsin(2), ∞).
• Если -sin x + 2 2, но синус не может превышать 1, поэтому нет интервалов, где это выполняется.

Таким образом, функция y = cos x + 2x возрастает на интервалах (-∞, arcsin(2)) и (arcsin(2), ∞) и убывает на всей числовой прямой.

Пожалуйста, обратите внимание, что в каждой из задач мы использовали анализ производной, чтобы определить, как меняется функция на числовой прямой и на интервалах.