Каков объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, если объем этой призмы равен 10π?
Подтвержденное решение:
Для решения этой задачи, давайте представим себе правильную шестиугольную призму. Такая призма имеет основание в форме правильного шестиугольника, то есть шестиугольника, у которого все стороны и углы равны.
Для определения объема цилиндра, вписанного в такую призму, мы сначала должны понять, какой будет радиус этого цилиндра.
-
Рассмотрим один из треугольных граней шестиугольной призмы. Чтобы найти высоту цилиндра, вписанного в эту призму, мы можем взять высоту треугольника. Так как у нас есть шестиугольник, мы можем разделить его на шесть равносторонних треугольников. Для простоты, давайте обозначим высоту одного такого треугольника как «h.»
-
Теперь нам нужно найти радиус цилиндра, который равен стороне треугольника. Для этого используем геометрические свойства правильного шестиугольника. Высота «h» будет примыкающей к стороне шестиугольника, а сама сторона будет гипотенузой. Зная длину гипотенузы (сторону шестиугольника) и высоту «h,» мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны (радиус цилиндра).
-
Теперь, когда у нас есть радиус и высота цилиндра, мы можем использовать формулу объема цилиндра:
V_цилиндра = π * r^2 * h,
где «V_цилиндра» — объем цилиндра, «π» (пи) — математическая константа, «r» — радиус цилиндра, «h» — высота цилиндра.
Мы уже знаем значения радиуса и высоты цилиндра, поэтому можем подставить их в формулу и рассчитать объем цилиндра.
-
В данной задаче сказано, что объем правильной шестиугольной призмы равен 10π. Поэтому мы можем установить равенство:
10π = π * r^2 * h.
-
Мы знаем, что высота «h» равна высоте одного из треугольников, которые мы рассматривали ранее. Также мы найдем радиус «r,» используя геометрические свойства правильного шестиугольника.
-
Подставляем значение «h» и «r» в уравнение и решаем его, чтобы найти объем цилиндра.
Теперь, сделав необходимые вычисления, мы найдем объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму.