Найди периметр треугольника с углом 60°, если соотношение длин двух его сторон равно 3:8, а третья сторона равна 35 см

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть треугольник с углом 60° и тремя сторонами. Мы знаем, что соотношение длин двух его сторон равно 3:8, а третья сторона имеет длину 35 см.

1. Находим длины двух сторон: Пусть длина более короткой из двух сторон равна 3x, а длина более длинной стороны равна 8x (с учетом соотношения 3:8).

2. Используем правило синусов: Мы можем использовать правило синусов для нахождения длины третьей стороны. По этому правилу:

   $\frac{a}{\sin (A)}=\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}$

   Где a, b и c — длины сторон треугольника, а A, B и C — соответствующие им углы. У нас есть значение одного угла (60°), длина одной стороны (35 см) и две неизвестные стороны (3x и 8x).

3. Выразим sin(60°): Мы знаем, что sin(60°) равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Применяем правило синусов к треугольнику: Мы можем написать:

   $\frac{35}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3x}{\sin (60°)}$

5. Решаем уравнение для x: Раскроем знаменатель слева:

   $35\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=3x\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

   Это упрощается до:

   $\frac{70}{\sqrt{3}}=2x$

   Теперь делим обе стороны на 2:

   $x=\frac{70}{2\sqrt{3}}=\frac{35}{\sqrt{3}}$

6. Находим значение x: Мы нашли значение x, которое равно $\frac{35}{\sqrt{3}}$.

7. Находим длины двух сторон: Теперь, зная значение x, мы можем найти длины двух сторон:

   • Длина более короткой стороны (3x): $3\cdot \frac{35}{\sqrt{3}}$
   • Длина более длинной стороны (8x): $8\cdot \frac{35}{\sqrt{3}}$

8. Находим периметр треугольника: Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Поэтому периметр равен:

   $\text{Периметр}=35+3\cdot \frac{35}{\sqrt{3}}+8\cdot \frac{35}{\sqrt{3}}$

9. Упрощаем выражение: Мы можем сначала объединить члены с $\frac{35}{\sqrt{3}}$:

   $\text{Периметр}=35+\frac{35}{\sqrt{3}}(3+8)$

   И это упрощается до:

   $\text{Периметр}=35+\frac{35}{\sqrt{3}}\cdot 11$

10. Вычисляем численное значение: Мы можем вычислить численное значение периметра, подставив значение $\sqrt{3}$ (приближенно 1.732) и умножив:

    $\text{Периметр}\approx 35+35\cdot 11\cdot 1.732$

11. Вычисляем периметр: Рассчитав значение, мы получим:

    $\text{Периметр}\approx 516.98\text{ см}$

Итак, периметр треугольника с углом 60° и сторонами, соответствующими соотношению 3:8, равен приближенно 516.98 см.