В кубическом многочлене f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, где a ≠ 0, известно, что f(-1) = 12, f(0) = 6, f(1) = 2. Что равно сумме всех значений x, которые не могут быть корнями уравнения f(x) = 0?
Детальное объяснение:
Для решения этой задачи мы можем использовать информацию о значениях многочлена f(x) в трех точках: f(-1) = 12, f(0) = 6 и f(1) = 2.
Сначала найдем f(0), так как это самое простое значение. Известно, что f(0) = 6.
Теперь, используя это значение, давайте рассмотрим f(-1) и f(1):
-
f(-1) = 12: Подставим x = -1 в уравнение f(x): a*(-1)^3 + b*(-1)^2 + c*(-1) + d = -a + b — c + d = 12.
-
f(1) = 2: Подставим x = 1 в уравнение f(x): a1^3 + b1^2 + c*1 + d = a + b + c + d = 2.
Теперь у нас есть система уравнений:
- -a + b — c + d = 12
- a + b + c + d = 2
- d = 6 (из f(0) = 6).
Мы можем выразить a, b и c с использованием этих уравнений:
Из уравнения 3 мы знаем, что d = 6.
Теперь подставим d = 6 в уравнение 1:
-a + b — c + 6 = 12.
Переносим 6 на другую сторону уравнения:
-a + b — c = 12 — 6.
-a + b — c = 6.
Теперь, добавляя уравнение 2 (a + b + c + d = 2) к уравнению -a + b — c = 6, мы можем упростить выражение:
(a + b + c + d) + (-a + b — c) = 2 + 6.
Определенные члены сокращаются:
b + b = 8.
2b = 8.
Теперь делим обе стороны на 2:
b = 4.
Теперь, когда у нас есть значение b, мы можем найти a и c, используя уравнение -a + b — c = 6:
-a + 4 — c = 6.
Теперь выразим a и c:
-a — c = 6 — 4.
-a — c = 2.
Теперь, если мы подставим значения a и c обратно в уравнение f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, мы получим:
f(x) = 2x^3 + 4x^2 + (2 — x)x + 6.
Мы хотим найти сумму всех значений x, которые не могут быть корнями уравнения f(x) = 0. Это означает, что мы ищем сумму значений x, при которых f(x) ≠ 0.
Мы видим, что множитель (2 — x) в уравнении f(x) делает ноль, если x = 2. Таким образом, x = 2 — это корень уравнения f(x) = 0.
Следовательно, x ≠ 2, чтобы значение f(x) было ненулевым.
Итак, сумма всех значений x, которые не могут быть корнями уравнения f(x) = 0, равна сумме всех возможных значений x за исключением x = 2:
Сумма = (-∞, 2) ∪ (2, +∞).
Таким образом, сумма всех значений x, которые не могут быть корнями уравнения f(x) = 0, равна (-∞, 2) ∪ (2, +∞).