Докажите, что последовательность, заданная рекуррентно с начальными условиями, имеет форму aₙ = 3n + 1

Чтобы доказать данное утверждение, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Сначала проверим базовый случай, а затем предположим, что утверждение верно для некоторого n = k и докажем его для n = k + 1.

1. Базовый случай (n = 1 и n = 2):
   По условию, у нас есть начальные условия a₁ = 4 и a₂ = 10.

   Для n = 1:
   a₁ = 4
   3 * 1 + 1 = 4
   Утверждение верно для n = 1.

   Для n = 2:
   a₂ = 10
   3 * 2 + 1 = 7
   Утверждение верно для n = 2.

2. Предположение индукции:
   Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k, то есть aₖ = 3k + 1.

3. Доказательство для n = k + 1:
   Нам дано, что aₙ₊₂ = 4aₙ₊₁ — 3aₙ. Теперь мы хотим доказать, что aₖ₊₁ = 3(k + 1) + 1.

   Используя предположение индукции:
   aₖ₊₂ = 4aₖ₊₁ — 3aₖ
   aₖ₊₂ = 4(3k + 1) — 3(3k + 1) (здесь мы заменили aₖ₊₁ на 3k + 1, согласно предположению индукции)
   aₖ₊₂ = 12k + 4 — 9k — 3
   aₖ₊₂ = 3k + 1

   Таким образом, утверждение верно и для n = k + 1.

Так как мы проверили базовый случай и показали, что если утверждение верно для некоторого n = k, то оно также верно и для n = k + 1, мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.