Докажите, что последовательность, заданная рекуррентно с начальными условиями, имеет форму aₙ = 3n + 1.
Детальное объяснение:
Чтобы доказать данное утверждение, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Сначала проверим базовый случай, а затем предположим, что утверждение верно для некоторого n = k и докажем его для n = k + 1.
-
Базовый случай (n = 1 и n = 2):
По условию, у нас есть начальные условия a₁ = 4 и a₂ = 10.Для n = 1:
a₁ = 4
3 * 1 + 1 = 4
Утверждение верно для n = 1.Для n = 2:
a₂ = 10
3 * 2 + 1 = 7
Утверждение верно для n = 2. -
Предположение индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k, то есть aₖ = 3k + 1. -
Доказательство для n = k + 1:
Нам дано, что aₙ₊₂ = 4aₙ₊₁ — 3aₙ. Теперь мы хотим доказать, что aₖ₊₁ = 3(k + 1) + 1.Используя предположение индукции:
aₖ₊₂ = 4aₖ₊₁ — 3aₖ
aₖ₊₂ = 4(3k + 1) — 3(3k + 1) (здесь мы заменили aₖ₊₁ на 3k + 1, согласно предположению индукции)
aₖ₊₂ = 12k + 4 — 9k — 3
aₖ₊₂ = 3k + 1Таким образом, утверждение верно и для n = k + 1.
Так как мы проверили базовый случай и показали, что если утверждение верно для некоторого n = k, то оно также верно и для n = k + 1, мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.