Что такое стороны прямоугольника abcd, если периметр этого прямоугольника равен 24 см, точка p — середина стороны bc, и угол apd равен 90 градусов?
Точный ответ:
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
-
Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. Дано, что периметр равен 24 см: P = 24 см.
-
Поскольку точка P является серединой стороны bc, то стороны bp и pc прямоугольника равны между собой, так как они делят сторону bc на две равные части. Пусть каждая из них равна x см. Таким образом, bp = pc = x см.
-
Мы знаем, что угол apd равен 90 градусов. Это указывает на то, что точка d лежит на прямой ad, и ad является гипотенузой прямоугольного треугольника apd.
-
Используя теорему Пифагора для треугольника apd, мы можем записать:
ad^2 = ap^2 + pd^2.
-
Так как угол apd прямой (90 градусов), то pd равен половине стороны dc, которая равна x см (поскольку dc и bc — параллельные стороны прямоугольника и имеют одинаковую длину). То есть, pd = x/2 см.
-
Теперь мы можем подставить известные значения в теорему Пифагора:
ad^2 = ap^2 + (x/2)^2.
-
Длина ap равна bp + pd, что равно x + x/2 = (3/2)x см.
-
Таким образом, мы можем переписать выражение для ad:
ad^2 = (3/2x)^2 + (x/2)^2.
-
Теперь мы можем решить это уравнение для ad:
ad^2 = 9x^2/4 + x^2/4,
ad^2 = (10x^2)/4,
ad^2 = (5x^2)/2. -
Теперь, чтобы найти ad, возьмем квадратный корень с обеих сторон:
ad = sqrt((5x^2)/2).
-
Таким образом, длина стороны ad равна sqrt((5x^2)/2) см.
-
Теперь, зная длины всех сторон, мы можем записать уравнение для периметра прямоугольника:
P = 2(ad + bc).
-
Подставим значения ad (sqrt((5x^2)/2) см), bc (2x см) и P (24 см) в уравнение:
24 = 2(sqrt((5x^2)/2) + 2x).
-
Далее решаем это уравнение относительно x.
12 = sqrt((5x^2)/2) + 2x.
- Уберем корень, возводя обе стороны уравнения в квадрат:
144 = 5x^2/2 + 8x^2.
- Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
288 = 5x^2 + 16x^2.
- Сложим члены:
21x^2 = 288.
- Разделим обе стороны на 21:
x^2 = 288/21,
x^2 = 48/7.
- Возьмем квадратный корень с обеих сторон:
x = sqrt(48/7).
- Мы нашли значение x, которое равно sqrt(48/7) см. Теперь мы можем найти длины всех сторон прямоугольника:
bp = pc = x = sqrt(48/7) см,
ad = sqrt((5x^2)/2) = sqrt((5 * 48/7)/2) = sqrt(240/14) см.
Таким образом, длины сторон прямоугольника abcd составляют:
- ad = sqrt(240/14) см,
- bp = pc = sqrt(48/7) см,
- bc = 2x = 2 * sqrt(48/7) см.
Сначала нам нужно найти длины сторон прямоугольника abcd. Пусть x — длина стороны ab, y — длина стороны bc. Так как точка p — середина стороны bc, то длина стороны bp равна y/2. Также, угол apd равен 90 градусов, поэтому треугольник apd — прямоугольный. Используя теорему Пифагора, получаем уравнение x^2 + (y/2)^2 = (y/2)^2 + (x+y)^2. Решая это уравнение, найдем значения x и y.