Чему равно значение следующего выражения: cos(123°)cos(78°)+sin(123°)sin(78°)cos⁡(123°)cos(78°)+sin(123°)sin(78°)?

Давайте разберемся с этим выражением по шагам, используя тригонометрические тождества. Для удобства обозначения, давайте представим углы 123° и 78° как а и b соответственно.

1. Заметим, что у нас есть выражение вида: cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b). Это напоминает тригонометричное тождество для суммы углов cos(α + β).

2. Используя это тождество, мы можем переписать наше выражение следующим образом: cos(α + β), где α = 123° и β = 78°.

3. Теперь мы можем вычислить значение cos(α + β), используя сумму углов тригонометрического косинуса: cos(α + β) = cos(α)cos(β) — sin(α)sin(β).

4. Подставляем наши значения α и β: cos(123° + 78°) = cos(123°)cos(78°) — sin(123°)sin(78°).

5. Теперь вычисляем значение синусов и косинусов углов 123° и 78°. Обратите внимание, что cos(123°) = cos(180° — 123°), а sin(123°) = sin(180° — 123°), и аналогично для угла 78°.

6. Мы знаем, что cos(180° — α) = -cos(α) и sin(180° — α) = sin(α), поэтому можем переписать: cos(123°) = -cos(123°), sin(123°) = sin(123°), cos(78°) = -cos(78°), sin(78°) = sin(78°).

7. Подставляем эти значения в наше выражение: -cos(123°)cos(78°) — sin(123°)sin(78°).

8. Теперь мы видим, что у нас есть знак минус перед всем выражением, поэтому можем просто изменить его на плюс: cos(123°)cos(78°) + sin(123°)sin(78°).

Итак, значение данного выражения равно cos(123° + 78°), что равно cos(201°).

Ответ: cos(123°)cos(78°) + sin(123°)sin(78°) = cos(201°).