Сколько тепла нужно добавить к газу в герметичном сосуде, объем которого составляет 6,5 л и в котором находится одноатомный идеальный газ при давлении 10^5 Па, чтобы увеличить давление в сосуде в 3 раза?
Исчерпывающий ответ:
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта для идеального газа, который гласит, что произведение давления и объема газа остается постоянным, если температура остается неизменной:
P1 * V1 = P2 * V2
Где:
P1 — начальное давление (10^5 Па)
V1 — начальный объем (6,5 л)
P2 — конечное давление (3 * P1, так как давление увеличивается в 3 раза)
V2 — конечный объем (который мы хотим найти)
Теперь мы можем решить уравнение для V2:
V2 = (P1 * V1) / P2
V2 = (10^5 Па * 6,5 л) / (3 * 10^5 Па)
V2 = (6,5 л) / 3
V2 = 2,17 л
Теперь мы знаем, что конечный объем газа будет составлять 2,17 литра. Чтобы увеличить давление в 3 раза, нам нужно уменьшить объем до 1/3 начального объема. Теперь мы можем найти разницу в объеме:
ΔV = V1 — V2
ΔV = 6,5 л — 2,17 л
ΔV ≈ 4,33 л
Теперь, чтобы узнать, сколько тепла нужно добавить, мы можем использовать первый закон термодинамики, который гласит, что изменение внутренней энергии (Q) равно работе (W), совершенной над газом, плюс изменению теплоты (ΔU = Q — W). В этой ситуации работа W равна нулю, так как сосуд герметичен, поэтому изменение внутренней энергии равно количеству добавленной теплоты:
ΔU = Q
Теплота (Q) равна изменению внутренней энергии, которое можно выразить через изменение объема:
ΔU = n * C * ΔT
Где:
n — количество вещества газа
C — молярная теплоемкость при постоянном объеме (C_v)
ΔT — изменение температуры
Молярная масса одноатомного идеального газа (например, аргон) составляет примерно 0,04 кг/моль. Мы можем найти количество вещества, разделив массу на молярную массу:
n = масса / молярная масса
n = (ΔV * плотность) / молярная масса
Теперь мы можем найти количество добавленной теплоты (Q):
Q = n * C_v * ΔT
Молярная теплоемкость при постоянном объеме (C_v) для одноатомного идеального газа составляет около 3R, где R — универсальная газовая постоянная. R ≈ 8,31 Дж/(моль·К).
ΔT — изменение температуры. Так как в данной задаче давление увеличивается в 3 раза, а объем уменьшается в 3 раза, температура также увеличивается в 3 раза (по закону Шарля).
ΔT = Т2 / Т1
ΔT = (3 * Т1) / Т1
ΔT = 3
Теперь мы можем рассчитать количество добавленной теплоты (Q):
Q = n * C_v * ΔT
Q = [(ΔV * плотность) / молярная масса] * (3R) * 3
Мы знаем, что плотность (ρ) газа при постоянной температуре и давлении связана с молярной массой (M) следующим образом:
ρ = P * M / (R * T)
Где:
P — давление (начальное давление, 10^5 Па)
M — молярная масса газа
R — универсальная газовая постоянная
T — начальная температура в Кельвинах (K)
Таким образом, мы можем выразить плотность (ρ) через давление (P), молярную массу (M), универсальную газовую постоянную (R) и начальную температуру (T1):
ρ = P * M / (R * T1)
Теперь мы можем выразить количество добавленной теплоты (Q) в терминах известных величин:
Q = [(ΔV * (P * M) / (R * T1)) / молярная масса] * (3R) * 3
Теперь давайте вычислим все известные значения и найдем Q:
ΔV ≈ 4,33 л (переведено в м³)
P = 10^5 Па
M ≈ 0,04 кг/моль
R ≈ 8,31 Дж/(моль·К)
T1 — начальная температура в Кельвинах (для удобства примем 300 K, что соответствует примерно 27°C)
Теперь мы можем вычислить Q:
Q = [(4,33 * 10^-3 м³ * (10^5 Па * 0,04 кг/моль) / (8,31 Дж/(моль·К) * 300 K)) / 0,04 кг/моль] * (3 * 8,31 Дж/(моль·К)) * 3
Вычислим этот выражение:
Q ≈ 398 Дж
Таким образом, чтобы увеличить давление в сосуде в 3 раза, необходимо добавить примерно 398 Дж теплоты к одноатомному идеальному газу в герметичном сосуде объемом 6,5 л при начальном давлении 10^5 Па и начальной температуре 300 K.