Какова длина высоты равнобедренной трапеции MNKL, если одна из её боковых сторон составляет 18 см, а один из углов равен 30°? В ответе укажите число и единицы измерения через пробел. Например: 1 см.
Пошаговое решение:
Для нахождения длины высоты равнобедренной трапеции MNKL с углом 30°, можно воспользоваться свойствами этой фигуры.
-
Разобьем трапецию на два треугольника, используя высоту, которую мы хотим найти. Эта высота будет делить основание трапеции пополам.
-
Один из треугольников получится прямоугольным, так как один из углов трапеции равен 30°. Пусть длина половины основания (половина боковой стороны) равна a, длина высоты — h, а длина верхней стороны трапеции — b.
-
Так как у нас есть прямоугольный треугольник с углом 30°, мы можем использовать тригонометрический косинус:
cos(30°) = a / h
cos(30°) = √3 / 2 (значение косинуса 30°)
-
Теперь мы можем выразить длину a через h:
a = (√3 / 2) * h
-
Так как вся длина боковой стороны трапеции составляет 18 см, а она равнобедренная, то:
2a + b = 18
2((√3 / 2) * h) + b = 18
-
Упростим уравнение:
(√3 * h) + b = 18
-
Теперь нам нужно выразить длину b через h:
b = 18 — (√3 * h)
-
Зная длину b и длину одной из сторон трапеции, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины h:
h^2 + (b/2)^2 = a^2
h^2 + ((18 — (√3 * h))/2)^2 = (h√3)^2
-
Решим это уравнение для h:
h^2 + ((18 — (√3 * h))/2)^2 = 3h^2
h^2 + (18 — (√3 * h))^2 / 4 = 3h^2
h^2 + (18^2 — 2 * 18 * √3 * h + 3h^2) / 4 = 3h^2
-
Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:
4h^2 + 18^2 — 2 * 18 * √3 * h + 3h^2 = 12h^2
-
Теперь упростим уравнение:
7h^2 — 2 * 18 * √3 * h + 18^2 = 12h^2
5h^2 — 2 * 18 * √3 * h + 18^2 = 0
-
Это квадратное уравнение можно решить с использованием дискриминанта:
D = (b^2 — 4ac)
D = ((-2 * 18 * √3)^2 — 4 * 5 * 18^2)
D = (2592 — 3600)
D = -1008
Дискриминант отрицателен, что означает, что уравнение имеет два комплексных корня, и у нас нет физического смысла в отрицательных значениях длины. Таким образом, ответ — отсутствует (нет физического решения).
Для нахождения длины высоты равнобедренной трапеции MNKL нужно разбить трапецию на два треугольника и использовать угол 30°.