Найдите площадь четырехугольника, у которого две вершины находятся в фокусах эллипса 9x^2 + 5y^2 = 1, а две другие

Для решения этой задачи, нам следует выполнить следующие шаги:

1. Найти уравнение эллипса: 9x^2 + 5y^2 = 1. Видим, что данное уравнение имеет стандартную форму эллипса: (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1, где a и b — полуоси эллипса.

2. Сравним уравнение эллипса с уравнением стандартной формы и определим значения полуосей:

   • Для полуоси a: 9x^2 = a^2, отсюда a = 3.
   • Для полуоси b: 5y^2 = b^2, отсюда b = 1.

3. Теперь мы знаем параметры эллипса: a = 3 и b = 1.

4. Чтобы найти вершины фокусов эллипса, мы используем формулу: c = √(a^2 — b^2), где c — расстояние от центра эллипса до фокусов.

   • c = √(3^2 — 1^2) = √(9 — 1) = √8 = 2√2.

5. Теперь у нас есть расстояние от центра эллипса до фокусов: c = 2√2.

6. Определяем координаты фокусов эллипса, используя центр эллипса как начало координат (0,0):

   • Фокус 1: (-2√2, 0).
   • Фокус 2: (2√2, 0).

7. Так как две вершины четырехугольника находятся в фокусах эллипса, координаты этих вершин будут равны координатам фокусов:

   • Вершина 1: (-2√2, 0).
   • Вершина 2: (2√2, 0).

8. Теперь у нас есть координаты четырех вершин четырехугольника: A(-2√2, 0), B(2√2, 0), C(0, 1), и D(0, -1).

9. Найдем длины сторон четырехугольника:

   • AB = 2√2 — (-2√2) = 4√2.
   • BC = 1 — (-1) = 2.

10. Теперь мы можем найти площадь четырехугольника, разделив его на два треугольника. Площадь каждого треугольника можно найти, используя формулу S = (1/2) * основание * высота.

• Площадь треугольника ABC: S_ABC = (1/2) * AB * BC = (1/2) * (4√2) * 2 = 4√2.
• Площадь треугольника ADC: S_ADC = (1/2) * AB * BC = (1/2) * (4√2) * 2 = 4√2.

1. Теперь найдем площадь всего четырехугольника, сложив площади двух треугольников:
   S_четырехугольника = S_ABC + S_ADC = 4√2 + 4√2 = 8√2.

Ответ: Площадь четырехугольника, у которого две вершины находятся в фокусах эллипса, а две другие совпадают с концами его малой оси, равна 8√2.