Есть две бесконечные убывающие геометрические прогрессии. Первый член первой прогрессии равен обратному знаменателю

Есть две бесконечные убывающие геометрические прогрессии. Первый член первой прогрессии равен обратному знаменателю второй, и наоборот. Сумма всех членов прогрессий составляет 2. Найдите первый член первой прогрессии, если её знаменатель равен 1/3.

Проверенный ответ:

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом:

Пусть первая геометрическая прогрессия имеет первый член a и знаменатель r, а вторая геометрическая прогрессия имеет первый член 1/r и знаменатель 1/a.

Мы знаем, что сумма всех членов прогрессий равна 2. Давайте выразим сумму для каждой из прогрессий:

  1. Сумма первой прогрессии:
    S1 = a + ar + ar^2 + ar^3 + …

  2. Сумма второй прогрессии:
    S2 = 1/r + 1 + a + a^2 + …

Теперь мы знаем, что S1 + S2 = 2, так как сумма всех членов равна 2.

Теперь давайте подставим выражения для S1 и S2 и решим уравнение:

(a + ar + ar^2 + ar^3 + …) + (1/r + 1 + a + a^2 + …) = 2

Теперь объединим подобные члены:

(a + 1/r) + (ar + 1 + a) + (ar^2 + a^2) + (ar^3 + a^3) + … = 2

Теперь заметим, что каждое слагаемое в скобках представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Для того чтобы сумма была равна 2, каждая из этих бесконечных прогрессий должна иметь сумму, равную 2/3 (поскольку 2/3 + 2/3 + 2/3 + … = 2).

Теперь мы можем записать уравнение для каждой прогрессии:

a + 1/r = 2/3 (уравнение для первой прогрессии)
ar + 1 + a = 2/3 (уравнение для второй прогрессии)

Мы знаем, что знаменатель первой прогрессии равен 1/3, что означает, что r = 3. Теперь мы можем найти первый член первой прогрессии:

a + 1/3 = 2/3

Вычитаем 1/3 с обеих сторон:

a = 2/3 — 1/3

a = 1/3

Таким образом, первый член первой прогрессии равен 1/3.

Отправь ответ другу:

Один комментарий

  1. Конечно, давайте попробуем решить эту задачу вместе:

    1. Первый член первой прогрессии — это a, а её знаменатель r. Первый член второй прогрессии — это 1/r, а её знаменатель 1/a.

    2. Сумма всех членов первой прогрессии можно выразить как a / (1 — r), а сумма всех членов второй прогрессии как (1/r) / (1 — (1/a)). Оба равны 1, так как сумма всех членов прогрессий составляет 2.

    3. Теперь мы имеем два уравнения:

      • a / (1 — r) = 1
      • (1/r) / (1 — (1/a)) = 1
    4. Решив эти уравнения, мы найдем значения a и r, и, следовательно, первый член первой прогрессии.

    При решении этих уравнений, мы можем найти значение a, которое равно 0.5. Таким образом, первый член первой прогрессии составляет 0.5, при условии, что её знаменатель r равен 0.5.

    Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, спрашивайте!

Ответить

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *