Есть две бесконечные убывающие геометрические прогрессии. Первый член первой прогрессии равен обратному знаменателю второй, и наоборот. Сумма всех членов прогрессий составляет 2. Найдите первый член первой прогрессии, если её знаменатель равен 1/3.
Проверенный ответ:
Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом:
Пусть первая геометрическая прогрессия имеет первый член a и знаменатель r, а вторая геометрическая прогрессия имеет первый член 1/r и знаменатель 1/a.
Мы знаем, что сумма всех членов прогрессий равна 2. Давайте выразим сумму для каждой из прогрессий:
-
Сумма первой прогрессии:
S1 = a + ar + ar^2 + ar^3 + … -
Сумма второй прогрессии:
S2 = 1/r + 1 + a + a^2 + …
Теперь мы знаем, что S1 + S2 = 2, так как сумма всех членов равна 2.
Теперь давайте подставим выражения для S1 и S2 и решим уравнение:
(a + ar + ar^2 + ar^3 + …) + (1/r + 1 + a + a^2 + …) = 2
Теперь объединим подобные члены:
(a + 1/r) + (ar + 1 + a) + (ar^2 + a^2) + (ar^3 + a^3) + … = 2
Теперь заметим, что каждое слагаемое в скобках представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Для того чтобы сумма была равна 2, каждая из этих бесконечных прогрессий должна иметь сумму, равную 2/3 (поскольку 2/3 + 2/3 + 2/3 + … = 2).
Теперь мы можем записать уравнение для каждой прогрессии:
a + 1/r = 2/3 (уравнение для первой прогрессии)
ar + 1 + a = 2/3 (уравнение для второй прогрессии)
Мы знаем, что знаменатель первой прогрессии равен 1/3, что означает, что r = 3. Теперь мы можем найти первый член первой прогрессии:
a + 1/3 = 2/3
Вычитаем 1/3 с обеих сторон:
a = 2/3 — 1/3
a = 1/3
Таким образом, первый член первой прогрессии равен 1/3.
Конечно, давайте попробуем решить эту задачу вместе:
Первый член первой прогрессии — это a, а её знаменатель r. Первый член второй прогрессии — это 1/r, а её знаменатель 1/a.
Сумма всех членов первой прогрессии можно выразить как a / (1 — r), а сумма всех членов второй прогрессии как (1/r) / (1 — (1/a)). Оба равны 1, так как сумма всех членов прогрессий составляет 2.
Теперь мы имеем два уравнения:
Решив эти уравнения, мы найдем значения a и r, и, следовательно, первый член первой прогрессии.
При решении этих уравнений, мы можем найти значение a, которое равно 0.5. Таким образом, первый член первой прогрессии составляет 0.5, при условии, что её знаменатель r равен 0.5.
Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, спрашивайте!