Какое значение имеет двойной интеграл x^2y, интегрированный по прямоугольнику, ограниченному x от 3 до 6 и y от 0 до 2

Для нахождения значения двойного интеграла $\int \int x^{2}ydxdy$ по прямоугольнику с заданными пределами, мы будем интегрировать поочередно по переменным x и y. Давайте разберемся по шагам:

1. Сначала проведем интеграцию по переменной x, учитывая пределы от 3 до 6:

   ${\int }_3^6\int x^{2}ydxdy$

   Первообразная функции $x^{2}y$ по x будет $\frac{1}{3}{x}^{3}y$, поэтому интегрирование по x дает нам:

   ${\left[\frac{1}{3}{x}^{3}y\right]}_3^6$

   Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

   $\frac{1}{3}(6^{3}y-3^{3}y)=\frac{1}{3}(216y-27y)=\frac{1}{3}(189y)$

2. Теперь у нас есть выражение $\frac{189y}{3}$, которое мы будем интегрировать по переменной y, учитывая пределы от 0 до 2:

   ${\int }_0^2\frac{189y}{3}dy$

   Интегрирование по y дает нам:

   ${\left[\frac{189}{3}\cdot \frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^2$

   Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

   $\frac{189}{3}\cdot \frac{1}{2}(2^2-0^2)=\frac{189}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4=63\cdot 2=126$

Ответ: Значение двойного интеграла $\int \int x^{2}ydxdy$ по указанному прямоугольнику равно 126. Таким образом, правильный ответ — b) 126.