Найти координаты точки, которая делит отрезок AC в соотношении 1:2.Вычислить координаты векторов 2BC и 3BC-2BA.Определить координаты точки D на прямой AC, чтобы треугольник ABD был прямоугольным.Рассчитать расстояние от точки A до прямой BC.
Проверенный ответ:
Давайте рассмотрим каждую часть задачи по очереди.
- Координаты точки, делящей отрезок AC в соотношении 1:2:
Для нахождения координат точки, делящей отрезок AC в соотношении 1:2, мы можем использовать формулу средней пропорции. Предположим, что точка D делит отрезок AC. Обозначим координаты точки D как (x, y, z).
Согласно пропорции, мы можем записать следующее:
(x — 1) / (0 — 1) = (y — (-2)) / (-6 — (-2)) = (z — 4) / (2 — 4) = 1/2
Решая каждое уравнение отдельно, получим:
x — 1 = -1/2
x = 1 — 1/2
x = 1/2
y + 2 = 1/2
y = 1/2 — 2
y = -3/2
z — 4 = -1
z = -1 + 4
z = 3
Таким образом, координаты точки D, которая делит отрезок AC в соотношении 1:2, равны (1/2, -3/2, 3).
- Координаты векторов 2BC и 3BC-2BA:
Для вычисления координат вектора 2BC и 3BC-2BA, сначала найдем координаты вектора BC:
BC = (3 — 0, 4 — (-6), (-2) — 2) = (3, 10, -4)
Теперь вычислим вектор 2BC:
2BC = 2 * (3, 10, -4) = (2 * 3, 2 * 10, 2 * (-4)) = (6, 20, -8)
И вычислим вектор 3BC-2BA:
3BC = 3 * (3, 10, -4) = (3 * 3, 3 * 10, 3 * (-4)) = (9, 30, -12)
BA = (3 — 1, 4 — (-2), (-2) — 4) = (2, 6, -6)
Теперь вычислим 3BC-2BA:
3BC-2BA = (9, 30, -12) — (2, 6, -6) = (9 — 2, 30 — 6, -12 — (-6)) = (7, 24, -6)
Таким образом, координаты вектора 2BC равны (6, 20, -8), а координаты вектора 3BC-2BA равны (7, 24, -6).
- Координаты точки D для прямоугольного треугольника ABD:
Чтобы треугольник ABD был прямоугольным, мы должны найти координаты точки D на прямой AC так, чтобы векторы AB и BD были перпендикулярными. Поскольку вектор AB уже известен (он равен BA), и мы знаем, что произведение скалярных произведений AB и BD должно равняться нулю, мы можем записать:
AB * BD = 0
(2, 6, -6) * (x — 1/2, y + 3/2, z — 3) = 0
Посчитаем скалярное произведение:
2(x — 1/2) + 6(y + 3/2) — 6(z — 3) = 0
2x — 1 + 6y + 9 — 6z + 18 = 0
2x + 6y — 6z + 26 = 0
Теперь мы имеем уравнение прямой AC:
2x + 6y — 6z + 26 = 0
Выберем, например, x = 1, чтобы упростить уравнение:
2 * 1 + 6y — 6z + 26 = 0
2 + 6y — 6z + 26 = 0
6y — 6z + 28 = 0
6y — 6z = -28
2y — 2z = -14
y — z = -7
Теперь у нас есть система уравнений:
2x + 6y — 6z + 26 = 0
y — z = -7
Решая эту систему, мы найдем координаты точки D.
- Расстояние от точки A до прямой BC:
Для расчета расстояния от точки A до прямой BC используем формулу для расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве. Расстояние d от точки (x1, y1, z1) до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, вычисляется по формуле:
d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
В данном случае, уравнение прямой BC уже известно:
2x + 6y — 6z + 26 = 0
Координаты точки A: (1, -2, 4)
Подставляем значения в формулу:
d = |2 * 1 + 6 * (-2) — 6 * 4 + 26| / sqrt(2^2 + 6^2 + (-6)^2)
d = |2 — 12 — 24 + 26| / sqrt(4 + 36 + 36)
d = |(-8)| / sqrt(76)
d = 8 / sqrt(76)
d = 8 * sqrt(76) / 76
d = (2 * sqrt(19)) / 19
Итак, расстояние от точки A до прямой BC равно (2 * sqrt(19)) / 19.
Давайте решим задачи шаг за шагом.
Координаты точки, делящей отрезок AC в соотношении 1:2: Мы можем использовать формулу средней пропорции для нахождения координат этой точки. Если точка C имеет координаты (x₁, y₁), а точка A — (x₂, y₂), то координаты точки, которая делит отрезок AC в соотношении 1:2, будут: ((2x₁ + x₂) / 3, (2y₁ + y₂) / 3).
Вычисление координат векторов 2BC и 3BC-2BA: Для вектора 2BC просто умножьте координаты вектора BC на 2. Для вектора 3BC-2BA найдите вектор BC, умножьте его на 3, затем вычтите вектор 2BA.
Определение координат точки D на прямой AC, чтобы треугольник ABD был прямоугольным: Это задача на нахождение точки, где AB перпендикулярна BD. Мы можем использовать свойство перпендикулярных отрезков: произведение их наклонов равно -1. Таким образом, найдите уголный коэффициент прямой AB, затем найти уравнение прямой BD с перпендикулярным наклоном и решите систему уравнений для нахождения координат точки D.
Расчет расстояния от точки A до прямой BC: Мы можем использовать формулу расстояния от точки до прямой. Найдите уравнение прямой BC, затем подставьте координаты точки A в формулу и вычислите расстояние.
Надеюсь, это помогло разобраться в задачах!