Найти общее решение дифференциального уравнения с переменными, которые можно разделить, где dy/корень x = 3dx/корень y

Конечно, давайте решим это дифференциальное уравнение шаг за шагом.

У вас есть дифференциальное уравнение: dy/√x = 3dx/√y.

Для начала давайте перепишем его в более удобной форме, чтобы разделить переменные. Умножим обе стороны на √y и на √x, чтобы избавиться от корней:

√y dy = 3√x dx.

Теперь мы можем разделить переменные, переместив все, что содержит y, на одну сторону, а все, что содержит x, на другую:

√y dy / √x = 3 dx.

Теперь мы готовы к интегрированию. Проинтегрируем обе стороны:

∫(√y / √x) dy = ∫3 dx.

Левая сторона:

∫(√y / √x) dy = ∫(y^(1/2) / x^(1/2)) dy.

Для правой стороны просто интегрируем по переменной x:

∫3 dx = 3x + C1, где C1 — произвольная постоянная интегрирования.

Для левой стороны мы интегрируем отношение переменных, что можно сделать с помощью замены. Проведем замену переменных: u = y^(1/2), тогда du = (1/2)y^(-1/2)dy. Мы видим, что в нашем интеграле есть y^(-1/2)dy, что очень похоже на du. Таким образом, заменяя y^(-1/2)dy на 2du, мы получаем:

∫(√y / √x) dy = ∫(2 du) = 2∫du = 2u + C2, где C2 — ещё одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь вернемся к исходным переменным y и x, зная, что u = √y:

2√y + C2 = 3x + C1.

Теперь объединим произвольные постоянные в одну, назовем ее C:

2√y = 3x + C.

Для получения общего решения можно возвести обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

4y = (3x + C)^2.

Это общее решение дифференциального уравнения с переменными, которые можно разделить.